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初二数学,如何用中垂线和勾股定理求面积?考试用这种方法很管用 [复制链接]

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      中垂线是初二数学的重要知识点,利用中垂线的性质可以进行计算证明,本文就例题详细解析这类题型的辅助线作法和解题思路,希望能给初二学生的数学月考复习带来帮助。
      
      例题
      
      如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,且∠OAB=45°,OC=2OA=8,∠OCB=1/2∠ODA,求四边形ABCD的面积。
      

      
      根据题目中的条件:AC⊥BD,则∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°;
      
      根据题目中的条件和结论:∠AOB=90°,∠OAB=45°,∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°,则∠OBA=45°;
      
      根据题目中的条件和结论:∠OAB=45°,∠OBA=45°,则∠OAB=∠OBA;
      
      根据等边对等角的性质和结论:三角形中相等的角所对的边相等,∠OAB=∠OBA,则OA=OB;
      
      根据题目中的条件和结论:2OA=8,OA=OB,则OA=OB=4;
      
      取BC的中点E,过点E作EF⊥BC,交OC于点F,连接BF
      

      
      根据垂直平分线的性质和结论:线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等,BE=CE,EF⊥BC,则BF=CF;
      
      根据等边对等角的性质和结论:三角形中相等的边所对的角相等,BF=CF,则∠FBC=∠OCB;
      
      根据外角的性质和结论:三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和,则∠OFB=∠FBC+∠OCB;
      
      根据结论:∠FBC=∠OCB,∠OFB=∠FBC+∠OCB,则∠OFB=2∠OCB;
      
      根据题目中的条件:∠OCB=1/2∠ODA,则∠ODA=2∠OCB;
      
      根据结论:∠OFB=2∠OCB,∠ODA=2∠OCB,则∠OFB=∠ODA;
      
      根据三角形的判定和结论:两组对应角及一组角的对边分别相等的两个三角形全等,∠ODA=∠OFB,∠AOD=∠BOC,OA=OB,则ODA≌OFB;
      
      根据全等三角形的性质和结论:全等三角形的对应边相等,ODA≌OFB,则OD=OF;
      
      设OD=OF=x
      
      根据题目中的条件:OC=8,OD=x,则CF=OC-OD=8-x;
      
      根据结论:BF=CF,CF=8-x,则BF=8-x;
      
      根据勾股定理和结论:∠BOC=90°,OB^2+OF^2=BF^2,OB=4,OF=x,BF=8-x,则4^2+x^2=(8-x)^2,可求得x=3;
      
      根据结论:x=3,OD=OF=x,则OD=3;
      
      根据三角形面积计算公式、题目中的条件和结论:OA=OB=4,OC=8,OD=3,则SAOB=OA*OB/2=8,SAOD=OA*OD/2=6,SCOD=OC*OD/2=12,SBOC=OB*OC/2=16;
      
      根据题目中的条件和结论:SAOB=8,SAOD=6,SCOD=12,SBOC=16,                   则S四边形ABCD=SAOB+SAOD+SCOD+SBOC=42。
      
      结语
      
      解决本题的关键是合理添加中垂线构造出直角三角形和全等三角形,利用勾股定理列方程求解三角形的边长,再把四边形分割为四个直角三角形进行求解。这种方法在考试中经常用到,值得大家学习并掌握!
      
      
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